194-音律的计算方法

音律的计算方法有利于演奏、演唱技能的发挥。尤其是从事音乐研究而又不擅长音律计算的人，若能掌握音律计算方法，于研究无疑是大有俾益的。 （一）绝对音高与频率的换算 绝对音高有两种表示方法，一种是音分表示法，另一种是音名表示法。在考古研究中，已如前文所述，音名是不用音乐上通用的大字组、小字组之区别的，而是仅用大字的0、1、2、3……来表示。起始音是C0，它乃是0音分，一组为1200音分。例如，A4便是5700音分。这是因为C0－C4为4800音分，C4－A4为900音分，二者之和也就是5700音分了。再如bB5-34便是6966音分。这是因为C0－C5的音程为6000音分，而C5－bB5为1000音分，计7000音分，减去34音分，，也就是6966音分了。 附带说一句，若将考古上的音高换算成音乐上的音名表示法也是不难的。这儿只要记住两个关键性的音就行了。一个是考古学上的C0就是音乐上的C2（大字二组），另一个是考古学上的C4，就是音乐上的c1（小字一组），因此，考古学上的A4，就是音乐上的a1（小字一组）。此外，6966音分就是bb2 -34。 关于音分及音名同频率的换算就比较麻烦了。例如6966音分，或bB5-34，它的频率该是多少Hz（赫兹）？要进行计算，首先要记住两个资料：一个是考古学上的C0，也就是音乐学上的C2（大字二组）的频率16.3515978313Hz，取约值16.35Hz；此频率的对数便是1.21356019708。另一个资料便是比例常数3986.31371386，此资料乃是1200/lg2。因为一个八度为1200音分，其频率比为2的缘故。如果我们要求出6966音分的频率，可通过以下计算求得： 6966?3986.314+1.21356 = 2.961，然后查反对数，得914.20（Hz）。这914.20Hz就是6966音分的频率。 相反，若知道频率，完全可以运用上述公式的逆运算求得它的音分。例如，已测得考古发掘出的某磬片的频率为586.86Hz，求此音的音分及音名。 解：? 先求出586.86Hz的对数与16.35Hz的对数之差。 lg586.86－lg16.35 = 2.7685345029－1.213560197 = 1.554974312 ? 将1.55497431253986.31371386 = 6196.62。取出近似值6197音分。 由于C4为6000音分，D4为6200音分，故而6197音分为D4-3。 （二）弦上的音位计算 在弦上进行音位计算，其主要目的虽然是为着律学的研究，但是它同样有着实际的用途。最早将弦用于律学计算的是西汉末年的京房（前77－前37）。他为了研究60律而设计了弦准。对于律学研究来说，若要区别三分损益律、纯律、十二平均律三种律制之间的差别，除了借助弦而外，是没有任何一种乐器是能负起此任的。诸君若于此有兴趣，笔者于下方列出这三种律制各音在弦上的百分比。 在列出这三种律制音阶各音在弦上的百分比之前，有4点说明。 1、三分损益律的传统七声音阶，只有变征（#4）而不用清角（4），纯律只有清角而没有变征。为了统一起见，此处根据如今的音乐实际，也改用清角。 2、纯律，实际上乃是在三分损益律的基础上增添了4:3的纯四度、5:4的纯律大三度和6:5的纯律小三度。笔者至今也未曾见到有人介绍纯律的十二律。因此，本文也只能介绍这三种律制的七声音阶在弦上的百分比。 3、三分损益律的首律是黄钟，如今人们通常以C（c1）为首音，更有不少人爱把黄钟正律说成C。实际上我们无法证明古代的黄钟就是C，但却可以把黄钟比拟作C。 4、在同一根弦上进行三种律制的音程比较时，弦的下端为起点0，上端为止点，即全弦长1。 现将三种律制各音在弦上的比例列表于下： 阶名 1 2 3 4 5 6 7 1 三分损益 1.0000 0.8888 0.7901 0.7400 0.6667 0.5926 0.5267 0.5000 纯律 1.0000 0.8888 0.8000 0.7500 0.6667 0.6000 0.5333 0.5000 十二平均律 1.0000 0.8909 0.7937 0.7492 0.6674 0.5946 0.5297 0.5000 至于弦上的音分计算当然并不仅仅是为着三种律制的比较。本世纪四十年代，我国音乐大家杨荫浏先生在进行音律研究时，就是借助了弦准，即在弦上确定一标准音，然后确定所测之音在弦上的按弦点，通过按弦点同弦上的基准点的比例，算出所测之音的音高或音程。例如一根长58公分的弦，音高（空弦音）为d1（293.66Hz），现测得某音与弦上47.65公分处所发之音等高，算出所测之音的高度（频率）。 解：由于频率同弦长成反比，所以所测之音同空弦音的音程，即为这两段弦长的对数差与音分计算比例常数之积。列式如下： （lg58－lg47.65）′ 3986.314 = 0.08537 ′ 3986.314 = 340.31（音分）。 由于d1比c1高大二度，故而d1为5000音分，今再加340.31音分，故而为5340.31音分，其音高为F4+40。运用前面述及的音分同频率换算的方法，可列出以下算式： 5340.31? 3986.314 + 1.2136 = 2.5533 查2.5533的反对数为357.52，由此可知，该音的音高为357.52（Hz）。 关于弦上的频率及音位计算，只能计算其相对音高，不能计算其绝对音高。弦的绝对音高的确定必须凭藉其他能确定绝对音高的乐器。正因为这个缘故，汉代的京房既明确指出“竹声不可以度调”，而在涉及弦准的绝对音高时又不得不牵涉到律管，晋代的杨泉也认定“以管定音，以弦定律”。 何不能确定绝对音高呢？这从弦的频率公式的分析中就可以获得证明。弦的频率公式是： 从弦的频率公式可知：虽然弦的频率（F）与弦长（L）成反比，同弦的张力（T）的平方根成正比，同弦的质量（m）的平方根成正比。作为弦乐器上的弦，尽管弦成可以测量，但是其张力与质量都是无法准确测定的，因此频率（F）也就无法确定。 （三）从频率计算音分 从频率计算音分是比较简单的。它与弦上的音位计算正好为逆运算。若两个频率分别为1362.76Hz与1485.95Hz，求这两个频率之间的音程。可列出以下算式： （lg1485.95lg－1362.76）′ 3986.314 = （3.172 －3.134）′ 3986.314 = 0.038′3986.314=151.48（音分）。 （四）关于板乐器及管乐器的频率 音律既然是乐器的重要属性，那么除了弦乐器而外，还有打击乐器和管乐器。打击乐器如钟磬，属于板振动。板振动的固有频率的计算，乃是凭藉的经验公式，因此除了可以对它测出的频率进行计算而外，目前还无法对它本身的固有频率进行计算。 作为板振动的钟磬，尤其是特殊的板振动的乐器－－钟，据说西周就有所谓“立均出度”的“均钟木”。尽管东周出土的钟磬有校音的痕迹，但是所校音高的范围不大。由此可见，自西周始，用这“均钟木”来铸造具有绝对音高的钟磬是完全可信的。但是这“均钟木”究竟是如何“立均出度”的，如今已成了难解之谜。 至于管乐器，常常见到人们述及它们的频率公式或音程公式，看起来管乐器的固有频率似乎是完全可以计算的。实际上管乐器除了可以对它们所奏出的音高进行计算而外，作为乐器的固有频率（频率公式）或音程公式，目前还无法进行计算。以下略述其原因。 首先就管乐器的基频公式来说，其频率应该同声波速度成正比，同气柱的长度成反比。这看上去似乎很简单，但是其真实情况却不是这么简单。原来管乐器不仅有开管乐器和闭管乐器，笔者还发现另有开管与闭管的结合型的管乐器。就开管与闭管来说，以边棱音为激振源的笛类乐器，与簧哨乐器的情形又明显不同。例如笛类乐器中的箫笛，其两端与外界大气相接，因此两端都有管口校正量，作为闭管的我国古代律管和排箫，只有一端与外界大气相接，因此只有一个管口校正量。而就簧哨乐器来说，尽管其吹奏端已含于口中或与唇紧密相接，却仍然有开管与闭管之分。例如中国的筚篥、管子与巴乌，外国的单簧管等都是闭管，中国的唢吶，外国的双簧管、大管、萨克斯管，以及各种号，都是开管。那么簧哨乐器中的开管乐器应该有一个还是两个管口校正量？这恐怕是我们的物理学家们还没有认真考虑过的问题吧？ 再就最简单的笛类乐器来说，律管和排箫的情形应该是一样的，二者之间的管端校正量（因为是闭管，应该只有一个管端校正量）是否应该相同？再就箫笛来说，其声学情形更是完全相同的。可是所有制作箫笛的人都知道，确定笛子音孔位置的公式绝对不适宜于确定洞箫的音孔位置。这是什么道理？原来箫和笛的音调不同而导致管长不同，即使管口校正量相同，其音孔位置的比例也必然不同；实际上箫和笛的管口校正量也确实不同，所以确定音孔位置的方法也就必然不同。 欲求管乐器的计算频率（不是实测），必须求得频率计算公式；欲求管乐器的频率计算公式，必须求得管乐器的管口校正量和管乐器中振动着的气柱的声波速度。可是别说各种管乐器的管口校正量各不相同，就是管乐器中的声波速度如今也多是借用了大气中的速度，这显然是未必切合实际的。 基于以上分析，可知有关音律计算方面的问题，无论是弦律还是管律，都有许多有待深入研究的内问题。